如何比较X^(X+1)和(X+1)^X的大小,(X>=3,且X为整数)

解答：结论：X^(X+1)＞(X+1)^X.
证明如下：
X^(X+1)＞(X+1)^X
<＝>(x+1)lnx＞xln(x+1)
<＝>(lnx)/x＞[ln(x+1)]/(x+1).............①
因此，只需考虑函数f(x)=lnx/x的单调性.
∵f′(x)=[(1/x)*x-1nx]/x^2=(1-lnx)/x^2,
显然，当x＞3时，f′(x)＜0，
f(x)在（3，+∞)上是减函数。
∴①成立。即当x＞3时有：X^(X+1)＞(X+1)^X.

考虑函数f(x)=(1+1/x)^x
f'(x)=[ln(1+1/x)-1/(1+x)](1+1/x)^x
再令g(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x)
g'(x)=-x/(1+x)^2<0(x>0)
即g(x)在(0,+∞)为减函数
且x→＋∞时,g(x)→0
因此g(x)在(0,+∞)上恒大于0
即f'(x)在(0,+∞)上恒大于0
即f(x)在(0,+∞)上是增函数
且x→＋∞时,f(x)→e
因此f(x)<e<3<=x
即(1+1/x)^x<x
两边同乘x^x得
(x+1)^x<x^(x+1)

PS:记得用初等方法就可以证明
f(x)<3,也足以证明(x+1)^x<x^(x+1)
但是不记得怎么证了

方法是：
Ln(X+1)^X-LnX^(X+1)=XLn(X+1)-(X+1)lnX
=XLn(X+1)-XLnX-LnX=XLn((X+1)/X)-LnX
当X很大时，前项趋近于0，两者差为负，所以(X+1)^X<X^(X+1)
当X=3时，4^3<3^4，也成立
所以当X>=3时，X^(X+1)>(X+1)^X

比较3^4和4^3,算出数值就可以比较了。
如果比较X^(X+1)和(X+1)^X要麻烦一些。